序

平常我们用到的 sqrt 函数求一个数的算术平方根，以前一直好奇究竟是如何计算的。

这篇文章我们就一起来探究一下。

二分法

以前我想到的一种方式是二分法；

假设求根号2的平方根；

假设最开始 min = 1.0，max = 2.0；

则它们的中间值 val = (min+max)/2.0；

然后判断 num = val*val 的结果，

如果 num > 2；则 max = val；

如果 num < 2；则 min = val；

如果 num = 2；则 算术平方根是 val，返回。

当然有人会问，一直不等于能，当然我们可以设置计算次数；

比如执行超过 20 次后就返回，这样可以避免无线循环下去。

然而这种方法的收敛速度实在太慢，导致要计算很多次才能达到比较高的精度。

牛顿的方法

网上看到一个说是牛顿的计算方法，假设 f(x) = x^2-2；

在 x^2-2 的曲线上面，先找一个点A(X0,Y0)，

过点A做曲线的切线交x轴于B(X1,0);

找到当前点B对应曲线上的点C(X1,Y1);

过点C做曲线的切线交x轴于D(X2,0);

找到当前点D对应曲线上的点E(X2,Y2);

过点E做曲线的切线交x轴于F(X3,0);

.........

按照这个过程一直下去，B D F....将会离曲线与x轴的交点越来越近，即逼近原理。

数学方法

那上面的坐标如何求取呢，对于点A，可以带入一个方便的坐标（1，-1）；

由于CD是切线，点C为切点，则有如下关系：

斜率 y' = BC/BD

而：BD 可以看成是点B的x轴坐标减去点D的x轴坐标，即 BD = X1-X2；

BC 就是C点的y值，即Y1；

上面关系就变成：y' = Y1/(X1-X2)

转换一下：X1-X2 = Y1/y'

X2 = X1-Y1/y'

转换成标准的写法，则有： Xn = Xn-1 - f(Xn-1) / f '(Xn-1)

对于曲线 x^2-2 任意一点的切线可以根据多项式导数方式获取，即 f '(Xn-1) = 2x；

则有 Xn = Xn-1 - f(Xn-1) / 2x;

将A点(X0,Y0) 由曲线上的点（1，-1）带入时，

X1 = 1 - (-1/2*1) = 1.5； 此时 Y1 = 1.5^2-2 = 2.25-2 = 0.25；

X2 = 1.5 - 0.25/2*1.5 = 1.416666...667； 此时 Y1 = 0.0069444444...

以此类推

X6 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753772.......

对比网上查找到的根号2前100为如下：

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850....

可以看到X6写出来的，仅仅是最后两位开始不一样。可见运算次数仅仅6次，精度已经如此高了。

代码实现

由于C/C++没找到比较稳定的高精度计算数据类，在此用Python代替了。

实现代码如下：

from decimal import Decimal
from decimal import getcontext

work_context = getcontext()
work_context.prec = 1000  // 有兴趣的可以试试更高精度


num = Decimal(2)  // 需要开方的数，可以试试3，5，7，11 。。。

def Xn(x, y):
	x -= y/(x*Decimal(2))
	y = x*x-num
	return (x,y)

x = Decimal(1)
y = x*x-num

for i in range(0,20):  // 计算20次精度已经非常高了
	x, y = Xn(x, y)
	print(x)


第20次结果：(好像精度已经达到1000位了)
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462
10703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993
58314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620
14728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253
39654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185701135
43746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215
80578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568
60601468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572
26002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003
18648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112
75736272804957381089675040183698683684507257993647290607629969413804756548237
28997180326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105
80360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847

是不是感到震惊，代码竟然如此短！？

是的，没有看错，就这么一点点。

有兴趣的小伙伴可以试试
https://tool.lu/coderunner/ 的在线编译器；

左上角选择 Python 然后复制上面的代码，运行看看结果。（如下图）

按照同样的方式，大家是不是可以扩展出3次，5次.....等等的开方计算方式了？

总结

有时候思路正确了，所要做的反而就很少了！

我在心里十分佩服前人的智慧与伟大！

一起努力，加油！