二阶系统阶跃响应指标分析

延迟时间：td 响应曲线第一次达到终止的50%所需的时间；

上升时间：tr 响应曲线第一次达到终止的90%所需的时间；

峰值时间：tp 响应曲线超过终值达到峰值的所需的时间；

超调量： 响应曲线峰值时间对应的峰值(h(tp)-h(∞))/h(∞)；

调整时间：ts 响应曲线达到±5%h(∞)并保持在其内所需的时间；

matlab求系统阶跃响应的函数以及语法：

（1）计算超调量：

y=step(sys); %求阶跃响应
[Y,k]=max(y); %求y的峰值和峰值时间
C=dcgain(sys);%求取系统的终值
Mp=(Y-C)*100/C; %求取系统的超调量

（2）计算稳态(调整)时间

[y,t]=step(sys);阶跃响应
C=dcgain(sys);%求取系统的终值
i=length(t);时间长度
while (y(i)>0.98*C)&( y(i)>1.02*C)
i=i-1;
end
ts=t(i)； 获取稳态时间

（3）计算上升时间

[y,t]=step(sys);阶跃响应
C=dcgain(sys);%求取系统的终值
n=1;
while(y(n)<0.9*C)
n=n+1;
end
tp=t(n);

(4) 计算峰值时间

[y,t]=step(sys);阶跃响应
[Y,k]=max(y); %求y的峰值和峰值时间
tp=t(k);

(5) 计算稳态误差

t:=1:0.01:15;
y=step(sys,t);
ess=1-y;
Ep=ess(length(ess)) 获取的稳态误差

举例1：

传递函数G(s)=100/(s^2+3s+100) 绘制阶跃响应 获取基于响应的参数

matlab代码：

num=[100];
den=[1 3 100];
disp('传递函数')
sys=tf(num,den)
[y,t]=step(sys);
C=dcgain(sys);
%峰值时间和超调量
[Y,k]=max(y);
disp('峰值时间s 超调量%')
tp=t(k)
Mp=(Y-C)*100/C
%上升时间
n=1;
while(y(n)<0.9*C)
n=n+1;
end
disp('上升时间 s')
tp=t(n)
% 稳态时间
i=length(t);
while (y(i)>0.98*C)&&( y(i)>1.02*C)
i=i-1;
end
disp('稳态时间 s ')
ts=t(i)
%稳态误差
t=1:0.01:4;
y=step(sys,t);
ess=1-y;
disp('稳态误差')
Ep=ess(length(ess)) %>>~n`E!u"A^I`E`Inot^Ió^2^i
%阶跃响应曲线
step(sys)
grid on

运行结果：

传递函数

sys =

100

---------------

s^2 + 3 s + 100

Continuous-time transfer function.

峰值时间s 超调量 %

tp =

0.3070

Mp =

61.7253

上升时间 s

tp =

0.1842

调整时间 s

ts =

3.8683

稳态误差

Ep =

-3.1746e-04

举例2：

标准二阶系统传递函数，在圆频率1rad/s,阻尼比为0，0.5，1，以及2的时候的阶跃响应

matlab代码
num=[1];
den1=[1,0,1];
den2=[1,0.5,1];
den3=[1,2,1];
den4=[1,4,1];
t=1:0.1:10;
G1=tf(num,den1)
G2=tf(num,den2)
G3=tf(num,den3)
G4=tf(num,den4)
step(G1,t);hold on;text(3,1.8,'|AE=0')
step(G2,t);hold on;text(3,1.4,'|AE=0.5')
step(G3,t);hold on;text(3,0.8,'|AE=1')
step(G4,t);hold on;text(3,0.4,'|AE=2')

G1 =

1

-------

s^2 + 1

Continuous-time transfer function.

G2 =

1

---------------

s^2 + 0.5 s + 1

Continuous-time transfer function.

G3 =

1

-------------

s^2 + 2 s + 1

Continuous-time transfer function.

G4 =

1

-------------

s^2 + 4 s + 1

Continuous-time transfer function.

从图中可以看出

标准二阶系统 阻尼比为0 为无阻尼的等幅值振荡曲线；

阻尼比为0.5的时候，是欠阻尼的振荡衰减曲线；

阻尼比为1的时候，是临界阻尼曲线；

阻尼比为2的时候，是过阻尼，曲线为单调的。

圆频率恒定，阻尼比越大超调量越小，调整时间越小。

举例3

标准二阶系统传递函数，在圆频率1rad/s、2rad/s、3rad/s时，阻尼比为0.5的时候的阶跃响应

matlab代码

figure
num1=[1];
den1=[1,1,1];
num2=[4];
den2=[1,2,4];
num3=[9];
den3=[1,3,9];
t=1:0.1:10;
G1=tf(num1,den1)
G2=tf(num2,den2)
G3=tf(num3,den3)
step(G1,t);hold on;text(3.5,1.1,'Wn=1')
step(G2,t);hold on;text(1.9,1.1,'Wn=2')
step(G3,t);hold on;text(0.9,1.15,'Wn=3')

运行结果：

G1 =

1

-----------

s^2 + s + 1

Continuous-time transfer function.

G2 =

4

-------------

s^2 + 2 s + 4

Continuous-time transfer function.

G3 =

9

-------------

s^2 + 3 s + 9

Continuous-time transfer function.

从图中可以看出

标准二阶系统阻尼比恒定，圆频率越大系统的峰值时间、调整时间越快，但是系统的超调量不变，系统的超调量只和阻尼比相关。