大厂面试:找出数组中第k大的数的最佳算法

一.前置条件

假如数组为a,大小为n，要找到数组a中第k大的数。

二.解决方案

1.使用任意一种排序算法（例如快速排序）将数组a进行从大到小的排序，则第n-k个数即为答案。

2.构造一个长度为k的数组，将前k个数复制过来并降序排序。然后依次将 k+1 到 n 位的数分别插入 k 长度的数组中并保持数组长度为k且降序排列。最终长度为k的数组的最后一个元素即是答案。

3.将数组的所有元素构造一个大顶堆，然后删除堆顶元素k次并重新构成大顶堆，则第k次操作后的堆顶元素即为答案。

4.用快速排序的思想不把数组元素全排序的优化算法。

1）先看一下快速排序（降序排序）的算法。

/**
快速排序主函数
a：要排序的数组
left：排序数组左边界索引
right：排序数组右边界索引
*/
public void quickSort(int a[], int left, int right) {
  if (left < right) {
  //算出基准元素索引值index
  int index = partition(a, left, right);
  //对低于index索引的数组递归排序
  quickSort(a, left, index - 1);
  //对高于index索引的数组递归排序
  quickSort(a, index + 1, right);
  }
}
//算出基准元素索引值，此索引值左侧值都大于基准元素值，此索引值右侧值都小于基准元素值
public int partition(int[] num, int left, int right) {
  if (num == null || num.length <= 0 || left < 0 || right >= num.length) {
  	return 0;
  }
  //获取数组基准元素的下标
  int prio = num[left + (right - left) / 2];
  //从两端交替向中间扫描
  while (left <= right) {
    while (num[left] > prio)
   	 left++;
    while (num[right] < prio)
   	 right--;
    if (left <= right) {
      //将不符合条件的元素值交换位置并继续扫描
      swap(num, left, right);
      left++;
      right--;
    }
  }
  return left;
}
//交换元素
public void swap(int[] num, int left, int right) {
  int temp = num[left];
  num[left] = num[right];
  num[right] = temp;
}

2）我们选择数组区间 a[0…n-1]的中间位置的一个元素 a[n/2]作为 pivot，对数组 a[0…n-1]进行分区，这样数组就分成了三部分，a[0…p-1]、a[p]、a[p+1…n-1]。

如果 p+1=k，那 a[p]就是要求解的答案；如果 k>p+1, 说明第 k 大元素出现在 a[p+1…n-1]区间，我们再按照上面的思路递归的在 a[p+1…n-1]这个区间内查找。同理，如果 k<p+1，那就在 a[0…p-1]区间内递归查找。

3）所以改进后的代码如下：

public int quickSortKthLargest(int a[], int left, int right, int k) {
  if (left < right) {
    //算出基准元素索引值index
    int index = partition(a, left, right);
    //索引对应的值就是第k大的数
    if(index+1==k){
    return a[index];
    }
    //在索引左边继续查找
    else if(index+1>k){
     return quickSortKthLargest(a, left, index-1, k);
    }
    //在索引右边继续查找
    else{
     return quickSortKthLargest(a, index+1, right, k);
    }

  }else{
  	return -1;
  }
}

5.在Python中，我们可以使用内置的heapq库来查找数组的第k大元素。heapq库实现了一个堆数据结构，我们可以利用堆的性质来找到数组的第k大元素。

代码如下：

# 返回第k大元素
def get_kth_largest(a, k):
  # heapq.nlargest(k, a)会返回数组a中最大的k个元素，
  # 然后我们通过[-1]来取得这k个元素中的最后一个，也就是第k大的元素。
  return heapq.nlargest(k, a)[-1]

6.使用最小堆来查找第k大的元素。

首先构建一个空的最小堆。遍历数组a，如果堆的大小小于k，我们就把当前元素加入堆中。如果堆的大小已经达到了k，我们就比较当前元素和堆顶元素（也就是堆中的最小元素），如果当前元素大于堆顶元素，我们就把堆顶元素替换为当前元素，再重新调整最小堆结构。这样，当遍历完整个数组后，堆顶元素就是数组的第k大元素（即是大小为k的最小堆（保存了数组中的最大的k个数）的最小元素）。

代码如下：

def get_kth_largest(a, k):
  heap = []
  for num in a:
    # 若最小堆大小小于k，则将元素插入最小堆
    if len(heap) < k:
   	 heapq.heappush(heap, num)
    else:
    # 若元素大于最小堆堆顶元素，则插入最小堆并重新排列
    if num > heap[0]:
    	heapq.heapreplace(heap, num)
  # 堆顶元素即为数组的第k大元素
  return heap[0]

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